Bjarnason iniziò la carriera professionistica con la maglia del Viking. Debuttò in prima squadra il 30 novembre 2005, in un match valido per la Coppa UEFA 2005-2006 contro il CSKA Sofia, perso per due a zero: subentrò a Trygve Nygaard. Il 9 aprile 2006 esordì nella Tippeligaen, giocando da titolare nel pareggio a reti inviolate contro lo HamKam. Il 17 settembre dello stesso anno, segnò la prima rete nella massima divisione norvegese: fu lui infatti a sancire il tre a uno finale inflitto allo Stabæk.
Nel 2008 fu ceduto in prestito al Bodø/Glimt per tutta la stagione. Giocò il primo incontro per il nuovo club in data 30 marzo, quando sostituì Runar Berg nel due a zero sullo HamKam. Il 6 aprile segnò la prima rete per la squadra, nella sconfitta per tre a uno in casa del Lyn. Chiuse la stagione con 26 match totali disputati e 5 reti.
Dal 2009, tornò al Viking e ottenne maggiore spazio tra i titolari. Il 31 dicembre 2011 il suo contratto giunse alla scadenza. Il 13 gennaio 2012 passò ai belgi dello Standard Liegi.
A Pescara arriva con la formula del prestito oneroso con diritto di riscatto. Sostiene le visite mediche a Pescara il 10 luglio 2012
Segna il sup primo gol in serie A con la maglia del Pescara il 2 dicembre 2012 in Napoli - Pescara.
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