Cresciuto nelle giovanili del Boca Juniors, Acosta fa il suo esordio in prima squadra sostituendo Lucas Viatri nella partita di Clausura 2010 contro l'Independiente.
Mentre Acosta giocava ancora nelle giovanili, in cui era definito «il gioiello più prezioso», ha sostenuto un periodo di allenamentro con il Napoli; è questo il periodo in cui viene soprannominato La Joya.
Nell'agosto del 2011, col permesso del Boca Juniors, Acosta si aggrega al Siena per la preparazione precampionato, in attesa di firmare un contratto con la squadra toscana. Il 31 agosto 2011 viene ufficializzato il trasferimento in prestito del giocatore. Nel club bianconero viene utilizzato esclusivamente nella formazione Primavera, senza mai esordire in prima squadra.
Conclusosi il prestito, nell'estate 2012 passa con la medesima modalità all'Almirante Brown, nella seconda serie argentina.
Nella sessione invernale del calciomercato 2015-16 giunge in prestito al Pescara di Massimo Oddo.
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